Готовая курсовая: Моделирование БСС в OMNeT++

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
Кафедра «Сети и системы связи»






Контрольная работа
по дисциплине «Теория телетрафика мультисервисных сетей»

В современном мире системы массового обслуживания (СМО) играют ключевую роль в обеспечении эффективной работы многих процессов, начиная с колл-центров и заканчивая логистическими центрами и компьютерными сетями. Понимание принципов функционирования СМО и умение анализировать их характеристики являются важными навыками для специалистов в различных областях.
Данная практическая работа посвящена изучению и моделированию СМО. В рамках работы будут рассмотрены существующие типы СМО, разработана и протестирована модель СМО в программной среде.
Целью работы является изучение принципов функционирования СМО, создание и анализ модели, а также оценка соответствия модели теоретическим расчетам.
Системы массового обслуживания (СМО), представляют собой математические модели и программные инструменты, используемые для анализа и оптимизации процессов обслуживания потока заявок (клиентов, задач, запросов и т.д.) в системе. Они широко применяются в различных областях, таких как телекоммуникации, логистика, производство, здравоохранение, финансы и многие другие.
Основные типы и характеристики существующих систем СМО:
I. Классификация по основным характеристикам:
По дисциплине обслуживания (FIFO, LIFO, приоритетное обслуживание и т.д.):
FIFO (First In, First Out) / FCFS (First Come, First Served): Первым пришел - первым обслужен. Самая распространенная дисциплина, обеспечивает справедливость.
LIFO (Last In, First Out) / LCFS (Last Come, First Served): «Последним пришел - первым обслужен». Используется, например, на складах для оптимизации доступа к последним поступившим товарам.
SIRO (Service in Random Order): Обслуживание в случайном порядке.
Приоритетное обслуживание: Заявки разделяются по приоритетам, и заявки с более высоким приоритетом обслуживаются раньше.  Может быть прерывающее (обслуживание текущей заявки прерывается для обслуживания более приоритетной) или не прерывающее.
Обслуживание с обратной связью: Приоритет заявки меняется в зависимости от времени ожидания в очереди.
По числу каналов обслуживания:
Одноканальные системы: Имеется только один обслуживающий канал (например, один кассир в магазине).
Многоканальные системы: Имеется несколько обслуживающих каналов, работающих параллельно (например, несколько кассиров в магазине).
По числу мест ожидания (размеру очереди):
Системы с неограниченной очередью: Теоретически, очередь может быть любой длины.
Системы с ограниченной очередью: Максимальное количество заявок в очереди ограничено.  Заявки, приходящие, когда очередь заполнена, могут быть потеряны (отказ) или перенаправлены.
По типу входящего потока заявок:
Стационарный поток: Интенсивность потока заявок постоянна во времени.  Часто моделируется пуассоновским процессом.
Нестационарный поток: Интенсивность потока заявок меняется во времени (например, в течение дня или недели).
Регулируемый поток: Клиенты сами регулируют поток заявок, чтобы избежать перегруженности системы.
По типу времени обслуживания:
Детерминированное время обслуживания: Время обслуживания каждой заявки известно и постоянно.
Случайное время обслуживания: Время обслуживания каждой заявки является случайной величиной, описываемой определенным распределением (например, экспоненциальным, нормальным, гамма-распределением).
По типу системы:
Разомкнутые системы: Поток заявок поступает извне и покидает систему после обслуживания.
Замкнутые системы: Количество заявок в системе постоянно.  Заявки, после обслуживания, возвращаются в систему и снова становятся в очередь.
Сети массового обслуживания: Система состоит из нескольких взаимосвязанных узлов, каждый из которых является СМО.  Заявки, после обслуживания в одном узле, могут быть перенаправлены в другой узел.
II. Примеры конкретных систем СМО:
M/M/1: Одноканальная СМО с неограниченной очередью, пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания.  Это одна из самых простых и часто используемых моделей.
M/M/c: Многоканальная СМО с неограниченной очередью, пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания (где 'c' - количество каналов).
M/M/1/K: Одноканальная СМО с ограниченной очередью (размер очереди K), пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания.
M/G/1: Одноканальная СМО с неограниченной очередью, пуассоновским входящим потоком и общим (General) распределением времени обслуживания.  Более сложная модель, позволяющая учитывать различные типы распределений времени обслуживания.
G/G/c: Самая общая модель, где входящий поток и время обслуживания описываются общими распределениями.  Обычно решается с помощью моделирования.
III. Методы анализа систем СМО:
Аналитические методы: Использование математических формул и теорем для вычисления характеристик системы (например, средней длины очереди, среднего времени ожидания, вероятности простоя канала).  Применимы для простых моделей (M/M/1, M/M/c и т.д.).
Методы имитационного моделирования: Создание компьютерной модели системы и ее имитация для оценки характеристик.  Используется для сложных систем, которые не поддаются аналитическому решению (например, G/G/c или сети массового обслуживания).
Методы статистического анализа: Сбор и анализ данных о работе реальной системы для оценки ее характеристик и выявления проблем.
IV. Примеры применения систем СМО:
Колл-центры: Оптимизация числа операторов для минимизации времени ожидания клиентов.
Банки: Оптимизация числа касс для снижения очередей.
Больницы: Оптимизация работы приемного отделения и распределения пациентов по врачам.
Транспортные системы: Оптимизация расписания движения общественного транспорта.
Производственные системы: Оптимизация работы производственных линий и управления запасами.
Компьютерные сети: Управление трафиком и ресурсами сети.
V. Инструменты для моделирования СМО:
GPSS (General Purpose Simulation System): Один из первых языков моделирования СМО.
Arena: Популярное программное обеспечение для имитационного моделирования.
AnyLogic: Еще одно популярное программное обеспечение для мультиметодологического моделирования, включая дискретно-событийное моделирование (СМО).
Simio: Программное обеспечение для 3D-анимационного моделирования.
Python библиотеки: SimPy, salabim и другие.  Позволяют создавать модели СМО на языке Python.
В заключение, системы массового обслуживания являются мощным инструментом для анализа и оптимизации процессов обслуживания.  Правильный выбор модели и метода анализа позволяет улучшить качество обслуживания, снизить затраты и повысить эффективность работы системы.
При описании конкретной системы СМО важно учитывать все вышеперечисленные характеристики и приводить конкретные значения параметров (например, интенсивность входящего потока, среднее время обслуживания и т.д.).  Также полезно указать цель моделирования и ожидаемые результаты.
1.Определить дисперсию Dn () пуассоновского потока заявок при коэффициенте загрузки, равном 1=0,9
Вероятность р мала, а число n велико (np = 90 < 10). Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон распределения.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 100*0.9 = 90
P(0) = e- λ = e-90 = 0
Математическое ожидание.
M[X] = λ = 90
Дисперсия.
D[X] = λ = 90
2. Определить второй начальный момент m^2 (p)  для пуассоновского потока заявок, при коэффициенте загрузки, равном 1=0,9  .
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=0.9 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 52.6% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 31.6 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 0.91/1!*0.526 = 0.474
3. Определить математическое ожидание m(p) для пуассоновского потока заявок, если канал загружен на 65 процентов
Вероятность р мала, а число n велико (np = 65 <10). Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон распределения.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 100*0.65 = 65
P(0) = e- λ = e-65 = 0
Математическое ожидание.
M[X] = λ = 65
4.Определить значение времени интервала обслуживания заявок  для потока с интенсивностью 100 заявок в секунду, если система свободна от заявок 65 % времени.
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=100 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 0.99% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0.6 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 1001/1!*0.0099 = 0.99
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 99% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.99 = 0.0099
Следовательно, 1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ*pобс = 100*0.0099 = 0.99 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 1 - 0.99 = 0 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс*λ = 0.0099*100 = 0.99 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО ( мин.).
tпр = pотк*tобс = 0.99*1 = 0.99
10. Среднее время простоя канала ( мин.).
tп.к. = tобс*(1-pотк)/pотк = 1*(1-0.99)/0.99 = 0.01
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ*Q = 100*0.0099 = 0.99 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ*p1 = 99 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 1 / 1 = 1 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.99 / 1 = 99% от номинальной производительности
5. Определить средний размер очереди для пуассоновского потока с постоянным временем обслуживания, если система загружена на 65 % своего времени.
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=153.846 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 0.65% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0.4 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 153.8461/1!*0.00646 = 0.994
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 99% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.994 = 0.00646
Следовательно, 1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ*pобс = 153.846*0.00646 = 0.994 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 1 - 0.994 = 0 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс*λ = 0.00646*100 = 0.646 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО ( мин.).
tпр = pотк*tобс = 0.994*1.538 = 1.529
10. Среднее время простоя канала ( мин.).
tп.к. = tобс*(1-pотк)/pотк = 1.538*(1-0.994)/0.994 = 0.00423
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ*Q = 153.846*0.00646 = 0.994 ед.
6. Определить средний размер очереди для пуассоновского потока с экспоненциальным временем обслуживания, если система загружена на 65% своего времени.
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=100 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
 =  =  = 
Следовательно, 0.01% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 1001/1!*9.9E-5 = 0.0099
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 99% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.99 = 0.01
Следовательно, 1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ*pобс = 100*0.01 = 1 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 1 - 1 = 0 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс*λ = 0.01*65 = 0.65 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО ( мин.).
tпр = pотк*tобс = 0.99*1.538 = 1.523
10. Среднее время простоя канала ( мин.).
tп.к. = tобс*(1-pотк)/pотк = 1.538*(1-0.99)/0.99 = 0.00656
Вероятность образования очереди.


Вероятность отсутствия очереди.
p = 1 - pоч = 1 - 9801 = -9800
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди.


11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).

12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ*Q = 100*0.01 = 1 ед.
13. Среднее число заявок в системе (т.е. заявки, которые уже обслуживаются, и те, которые еще стоят в очереди и ждут обслуживания).
LCMO = Lоч + Lобс = 0.99 + 1 = 1.99 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО.

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ*p1 = 64.35 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 1 / 1.538 = 0.65 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.65 / 0.65 = 100% от номинальной производительности.
7. Определить время пребывания заявки в системе для пуассоновского потока с постоянным временем обслуживания, если система загружена на 65 % своего времени.
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=123.077 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
 =  =  = 6.5E-5
Следовательно, 0.01% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 123.0771/1!*6.5E-5 = 0.00806
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 99% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.992 = 0.00812
Следовательно, 1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ*pобс = 123.077*0.00812 = 1 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 1 - 1 = 0 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс*λ = 0.00812*80 = 0.65 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО ( мин.).
tпр = pотк*tобс = 0.992*1.538 = 1.526
10. Среднее время простоя канала ( мин.).
tп.к. = tобс*(1-pотк)/pотк = 1.538*(1-0.992)/0.992 = 0.00532
Вероятность образования очереди.


Вероятность отсутствия очереди.
p = 1 - pоч = 1 - 14902.775 = -14901.775
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди.


11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).

12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ*Q = 123.077*0.00812 = 1 ед.
13. Среднее число заявок в системе (т.е. заявки, которые уже обслуживаются, и те, которые еще стоят в очереди и ждут обслуживания).
LCMO = Lоч + Lобс = 0.992 + 1 = 1.992 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО.

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ*p1 = 79.36 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 1 / 1.538 = 0.65 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.65 / 0.65 = 100% от номинальной производительности.
8. Определить вероятность того, что в системе с пуассоновским потоком отсутствуют заявки, если среднее число заявок в системе равно 0,7.
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=114.286 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
 =  =  = 7.6E-5
Следовательно, 0.01% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 114.2861/1!*7.6E-5 = 0.00867
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 99% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.991 = 0.00875
Следовательно, 1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ*pобс = 114.286*0.00875 = 1 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 1 - 1 = 0 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс*λ = 0.00875*80 = 0.7 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО ( мин.).
tпр = pотк*tобс = 0.991*1.429 = 1.416
10. Среднее время простоя канала ( мин.).
tп.к. = tобс*(1-pотк)/pотк = 1.429*(1-0.991)/0.991 = 0.00618
Вероятность образования очереди.


Вероятность отсутствия очереди.
p = 1 - pоч = 1 - 12833.653 = -12832.653
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди.


11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).

12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ*Q = 114.286*0.00875 = 1 ед.
13. Среднее число заявок в системе (т.е. заявки, которые уже обслуживаются, и те, которые еще стоят в очереди и ждут обслуживания).
LCMO = Lоч + Lобс = 0.991 + 1 = 1.991 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО.

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ*p1 = 79.28 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 1 / 1.429 = 0.7 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.7 / 0.7 = 100% от номинальной производительности.
9. Определить вероятность того, что в системе с пуассоновским потоком отсутствуют заявки, если в среднем в ней находится одна заявка.
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ*tобс = 1*1 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
10. Определить вероятность того, что в системе с пуассоновским потоком находится одна заявка, если в среднем в ней находится одна заявка.
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ*tобс = 1*1 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 50% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 30 сек.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 11/1!*0.5 = 0.5
11. Определить вероятность того, что в системе с пуассоновским потоком находится хотя бы одна заявка, если в среднем в ней находится одна заявка.
Вероятность р мала, а число n велико (np = 100 < 10). Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон распределения.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 100*1 = 100
P(0) = e- λ = e-100 = 0
Найдем вероятность того, что событие наступит хотя бы один раз.
P(X > 0) = 1 - P(0) = 1 - 0 = 1
12. Определить отношение двух безусловных вероятностей двух событий, если отношения их взаимных условных вероятностей равно 0,5
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=200 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
 =  =  = 
Следовательно, 0% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 2001/1!*2.5E-5 = 0.00498
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 100% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность отношения. В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.995 = 0.005
Следовательно, 1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
13. Определить вероятность того, что интервал между заявками в пуассоновском потоке с интенсивностью 1 заявка в секунду, не больше одной секунды.
Вероятность р мала, а число n велико (np = 10 < 10). Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон распределения.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 100*0.1 = 10
P(0) = e- λ = e-10 = 4.5
Найдем вероятность того, что событие наступит не более раз.
P(X ≤ ) = 4.5
14. Сообщения передаются парами бит. Определить вероятность передачи ошибочной пары, если вероятность ошибки при передаче каждого бита, равна 0,04.
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=100 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 0.99% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0.6 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 1001/1!*0.0099 = 0.99
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 99% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.99 = 0.0099
Следовательно, 1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ*pобс = 100*0.0099 = 0.99 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 1 - 0.99 = 0 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс*λ = 0.0099*100 = 0.99 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО ( мин.).
tпр = pотк*tобс = 0.99*1 = 0.99
10. Среднее время простоя канала ( мин.).
tп.к. = tобс*(1-pотк)/pотк = 1*(1-0.99)/0.99 = 0.01
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ*Q = 100*0.0099 = 0.99 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ*p1 = 99 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 1 / 1 = 1 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.99 / 1 = 99% от номинальной производительности.
15.Определить вероятность нахождения в системе M/M/1/  одной заявки, если загрузка системы равна  0,9
. 1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=111.111 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 0.89% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0.5 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 111.1111/1!*0.00892 = 0.991
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 99% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.991 = 0.00892
Следовательно, 1% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
nз = ρ*pобс = 111.111*0.00892 = 0.991 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 1 - 0.991 = 0 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
A = pобс*λ = 0.00892*100 = 0.892 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО ( мин.).
tпр = pотк*tобс = 0.991*1.111 = 1.101
10. Среднее время простоя канала ( мин.).
tп.к. = tобс*(1-pотк)/pотк = 1.111*(1-0.991)/0.991 = 0.0081
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ*Q = 111.111*0.00892 = 0.991 ед.
14. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ*p1 = 99.1 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 1 / 1.111 = 0.9 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.892 / 0.9 = 99% от номинальной производительности.
16. Определить вероятность блокировки системы M/M/1/N, если N равно 1, а загрузка системы равна 0,9 .
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=111.111 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания (мин).

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 0.89% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0.5 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 111.1111/1!*0.00892 = 0.991
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).

Значит, 99% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

В заключение данной практической работы, посвященной изучению и моделированию систем массового обслуживания (СМО), можно констатировать достижение поставленных целей. В ходе выполнения работы были рассмотрены теоретические основы СМО, разработана модель СМО в программной среде, а также проведена оценка соответствия модели теоретическим расчетам.
Практическая работа позволила углубить понимание принципов функционирования СМО, а также приобрести навыки моделирования и анализа подобных систем. Были рассмотрены различные типы СМО, что позволило понять их особенности и области применения.
В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:
Изучены теоретические основы СМО и классификация существующих типов систем.
Разработана модель СМО, учитывающая различные параметры, такие как интенсивность потока заявок, время обслуживания и количество каналов обслуживания.
Описаны входящие в модель блоки и их функциональность, что позволило понять структуру системы и принципы взаимодействия ее элементов.
Описан алгоритм функционирования разработанной СМО, который определяет порядок обработки заявок и распределение ресурсов.
Проведены математические расчёты основных характеристик СМО, таких как среднее число заявок в системе, среднее время ожидания в очереди и вероятность отказа в обслуживании.
Проведено имитационное моделирование разработанной СМО с использованием программного обеспечения.
Результаты математических расчетов были сопоставлены с результатами имитационного моделирования, определена степень соответствия модели теоретическим значениям и выявлен процент погрешности.