Помощь студентам в учебе и написании работ. Заказать дипломную, курсовую, работу. Никольский Помощь

Готовая задача: Многомерные интегралы и задачи по вероятности

Загружена: 20.02.2026 08:04

Сборник задач по многомерному анализу и элементарной теории вероятностей. Содержит пошаговые решения двойных и тройных интегралов, вычисления площадей и объёмов, криволинейные/поверхностные интегралы и задачи по вероятности. Полезно для практики и подготовки к экзаменам.

Содержание

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Математика» Семестр 1
Вариант 4

Задание 1
Вычислить ∬(5xy+8x^2 y^2 )dxdy , если область D ограничена линиями D: x=1,
 y=2x^2  ,y=-∛x

Задание 2 Вычислить тройной интеграл ∭9y²e^(xy/2)  dxdydz, где область интегрирования V ограничена поверхностями x = 0, y = 3, z = 0, z = -6, и y = 3x.

Задание 3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x² + y² = 4y и
 x² + y² = 6y.

Задание 4 Вычислить объем V тела, ограниченного поверхностями V: 
x^2+y^2=8x,x^2+y^2+z^2=64

Задание 5 Вычислить тройной интеграл ∭(x² + y² + z²) dxdydz, где V - область, ограниченная сферой x² + y² + z² = 4 и условиями x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. 

Задание 6 Вычислить криволинейный интеграл от функции f(x,y)= √(49/16 y^2+ 16/49 x^2 )
 по контуру L, заданному параметрически как x = 7cos(t), y = 4sin(t), где 0 ≤ t ≤ π/2.

Задание 7 Вычислить поверхностный интеграл первого рода ∫∫(4x + 3y - 4z + 1)dσ , где S - часть плоскости 8x + y + 5z - 4 = 0, лежащая в первом октанте.

Задание 8 Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля
 u(x,y,z) = ln(x² + 8y² + 7z²) в точке M₀(2, -6, 8).

Задание 9 Найти поток вектора поля a ⃗=(9x + sinz)i ⃗+ (zx² + 8y)j ⃗+ (2z + cosy)k ⃗ через замкнутую поверхность S: x^2+y^2+z^2=12x в направлении внешней нормали.

Задание 10 Найти работу силы F=(2y^2+6x) i ⃗+(6y+2x^2)j ⃗ при перемещении по прямой от точки М1(8;1) до точки M₂(-8, -7).

Задание 11. Брошены две монеты, причем на первой выпала решка. Найти вероятность того, что на монетах выпало две решки.

Задание 12. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий хотя бы одно нестандартное.

Задание 13.  В партии из 12 деталей находятся 5 бракованных. Вынимают из партии наудачу 4 детали. Определить, какова вероятность того, что все окажутся бракованными.

Задание 14. В спартакиаде участвуют: из первой группы 11 студентов, из второй – 14. Студент первой группы попадает в сборную университета с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что выбранный наудачу студент попадет в сборную университета.

Задание 15
У нас есть дискретная случайная величина X с распределением:
X	1	x	3
P	0.35	0.25	p
Также известно, что математическое ожидание M(X) = 2.4

Подробное описание

📘 О чем эта работа

В комплекте представлены развернутые решения типовых задач по математике: вычисление двойных и тройных интегралов, определение площадей и объёмов тел, криволинейные и поверхностные интегралы, градиент функции, поток векторного поля и набор элементарных задач по теории вероятностей. Объектом являются геометрические области (окружности, цилиндры, сферы) и стандартные интегральные преобразования (переход в цилиндрические/сферические координаты).

📚 Что внутри

Работа включает 15 заданий с подробными выкладками и ответами. Конкретика:

Двойной интеграл по области, ограниченной линиями x=1, y=2x² и y=−3√x, с подробным нахождением границ и вычислением итогового значения 1627/432.
Тройной интеграл с показательной функцией по прямоугольной области с z от −6 до 0 и y≤3x — вычисление и приближённый результат ≈79.0024.
Нахождение площади плоской фигуры между двумя окружностями (центры (0,2) и (0,3), радиусы 2 и 3) — результат 5π, с приведением канонической формы окружностей.
Объём тела, ограниченного цилиндром (x−4)²+y²=16 и сферой радиуса 8 — переход в цилиндрические координаты и итог V = 1024π/3.
Тройной интеграл по первому октанту сферы радиуса 2 в сферических координатах — вычисление ∭(x²+y²+z²) dV = 16π/5.
Криволинейный интеграл вдоль эллиптического параметра x=7cos t, y=4sin t: подробный вывод элемента дуги и интеграла, итог 65π/4.
Поверхностный интеграл первого рода для части плоскости 8x+y+5z−4=0 в первом октанте: выражение z(x,y), вычисление dσ и интегрирование по проекции (треугольник), итог 69√10/25.
Градиент логарифмического поля ln(x²+8y²+7z²) в точке M₀(2,−6,8) и модуль градиента √1361/185 (≈0.199) — пошагово вычислены частные производные.
Поток векторного поля через сферу (x−6)²+y²+z²=36 с применением формулы дивергенции: div = 19, объём сферы и итог 5472π.
Работа силы вдоль прямой между двумя точками с параметризацией, скалярным произведением и интегрированием — итог W = −656.
Раздел по элементарной теории вероятностей: условная вероятность (монеты) 0.5; вероятность «хотя бы одно нестандартное» из трёх изделий 0.271; гипергеометрическая задача (4 бракованные из 5 при выборе 4 из 12) 1/99; задача о выборе студента с полной вероятностью 0.788; восстановление неизвестного значения x=3.4 в дискретном распределении при M(X)=2.4.

📊 Для кого подходит

Материал полезен студентам математических, физических и инженерных направлений на 1–2 курсах для домашней практики, подготовки к контрольным и экзаменам, а также преподавателям как сборник типовых задач для занятий.

✨ Особенности

Представлены полные пошаговые вычисления: нахождение границ областей, переход в цилиндрические и сферические координаты, использование теоремы Остроградского–Гаусса, параметризация кривых и поверхностей. Приведены численные ответы и аналитические выражения, которые удобно адаптировать под похожие варианты задач.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура задач и оформление решений соответствуют стандартным требованиям контрольных и практических работ по курсу математики.

Можно адаптировать?
Да — все решения оформлены с явным указанием границ и методов, что облегчает редактирование под индивидуальные требования или замену численных данных.