Готовая задача: интерполяция Лагранжа и метод бисекции

📘 О чем эта работа

В работе показано применение двух классических численных методов: интерполяции полиномом Лагранжа для восстановления зависимости положения s(t) по четырём точкам и вычисления значения P(13), а также метод деления отрезка пополам (бисекция) для локализации корня уравнения f(x)=3x^3+7x-25 на отрезке [1,3]. Объект — численные алгоритмы; предмет — конкретные пошаговые вычисления и преобразования дробных выражений.

📚 Что внутри

Документ содержит конкретные исходные данные и подробные расчёты:

• Таблица точек для интерполяции: t={1,7,12,23}, s={2,5,10,15} и построение базисных полиномов L₀(t)...L₃(t).
• Развёрнутые выражения Lᵢ(t), их подстановка при t=13 и упрощение дробей: L₀(13)=-5/121, L₁(13)=-1/4, L₂(13)=144/121, L₃(13)=9/484.
• Пошаговый расчёт P(13)=2L₀+5L₁+10L₂+15L₃ с приведением к общему знаменателю 484 и итоговым значением P(13)≈10.57.
• Метод бисекции: задана функция f(x)=3x^3+7x-25, проверка знаков f(1)=-15, f(3)=77, три итерации деления отрезка с серединами c=2, 1.5, 1.75 и локализация корня в интервале [1.5,1.75].
• Комментарии к выбору узлов интерполяции, к сокращениям дробей и к применимости метода бисекции (теорема Больцано, монотонность знака на отрезках).

📊 Для кого подходит

Материал полезен студентам прикладной математики, информатики и инженерных направлений для выполнения экзаменационных и лабораторных заданий по вычислительной математике, численным методам и практическим упражнениям по интерполяции и корневым методам.

✨ Особенности

В работе даны не только формулы, но и реальные численные преобразования: точные дробные представления Lᵢ(13), приведение к общему знаменателю, промежуточные арифметические шаги. Это удобно для проверки ручных вычислений и сопоставления с результатами компьютерных реализаций. Приведено четкое объяснение, почему метод бисекции применим (f(1)<0, f(3)>0) и как локализуется корень после трёх итераций.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура примеров и полнота расчётов соответствуют требованиям экзаменационных задач по вычислительной математике: исходные точки, формулы Lagrange и пошаговые вычисления присутствуют.

Можно адаптировать?
Да. Численные примеры (узлы интерполяции, требуемая точность при бисекции) легко заменяются под требования преподавателя, а дробные упрощения можно выполнить в любом CAS или скрипте для автоматизации.

Примечание: работа полезна как демонстрация ручного подхода к интерполяции и корневым методам: все ключевые промежуточные выражения сохранены, что облегчает проверку и использование примеров в учебных заданиях.