Готовая ЛР: Экстремумы и монотонность функций

📘 О чем эта работа

Лабораторная работа посвящена исследованию свойств реальных функций: определению интервалов монотонности и экстремумов для функций одной переменной, а также поиску локальных и условных экстремумов для функций двух переменных. В качестве конкретных примеров рассматриваются функции вида y(x) и z(x,y), для которых выполнены аналитические дифференциальные исследования и вычислены значения в критических точках.

📚 Что внутри

В работе приведён подробный разбор четырёх задач с поэтапными вычислениями и итоговыми выводами:

• Задача 1: исследование монотонности функции y = x·e^x (анализ первой производной, выделение критических точек, постановка знака производной на интервалах). Сделаны выводы об интервалах возрастания и убывания и найден экстремум (точка минимума x = 1, f(1) = e).
• Задача 2: нахождение наибольшего и наименьшего значения функции y = 2(−x^2+7x−7)/(x^2−2x+2) на отрезке [1,4]. Выполнено дифференцирование дробной функции, найдены критические точки x = 0 и x = 2 (x = 0 вне отрезка), вычислены значения y(1) = −2, y(2) = 3, y(4) = 1; установлено минимум в x = 1 и максимум в x = 2.
• Задача 3: экстремум функции двух переменных z = x^2 + xy + y^2 + x − y + 1. Найдены частные производные, решена система для стационарной точки M(−1,1), вычислены вторые производные A = 2, B = 1, C = 2, дискриминант Δ = AC−B^2 = 3 > 0 → найден локальный минимум z_min = 0 в точке (−1,1).
• Задача 4: условный экстремум для z = e^{xy} при условии x + y = 1. Составлена функция Лагранжа L = e^{xy} + λ(x+y−1), решена система условий; получена стационарная точка (0.5,0.5), λ = −0.5 e^{0.25}, z_max = e^{0.25}. Выполнена проверка достаточного условия через определитель квадратичной формы.

📊 Для кого подходит

Материал полезен студентам математических и инженерных специальностей для занятий по математическому анализу и дифференциальному исчислению: учебные задания по нахождению критических точек, определению монотонности, вычислению частных производных и применению метода Лагранжа.

✨ Особенности

Конкретика вычислений: в тексте приведены развёрнутые вычисления первых и вторых производных, знакопостроение для производной дробной функции, численные значения y(1) = −2, y(2) = 3, y(4) = 1, а также итоговые координаты экстремумов для функций двух переменных. Работа содержит таблицу значений и ссылки на иллюстративные рисунки со схемой знаков производной.

Методы: аналитическое дифференцирование, исследование знака производной на промежутках, критерии Ферма и достаточные условия через вторые производные (детерминант A C − B^2), метод множителей Лагранжа для условных экстремумов.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура работы соответствует типовым требованиям по лабораторной работе: постановка задачи, поэтапное решение, вычисления и итоговые ответы.

Можно адаптировать?
Да — все шаги расписаны подробно, формулы и численные результаты позволяют быстро адаптировать работу под индивидуальные требования или использовать как разбор типовых вариантов.