Готовая Задача: стационарные точки и экстремумы функции

📘 О чем эта работа

Разбирается задача по математическому анализу: для функции z=3x^3+4xy^2+2x^2+2y^2 находятся стационарные точки и исследуется их характер (минимум/максимум/седло). Объект анализа — конкретная многочленная функция двух переменных, предмет — система уравнений градиента и матрица вторых производных (Гессиан).

📚 Что внутри

В работе приведены последовательные расчёты и выводы, включая:

• Выписаны частные производные: ∂z/∂x=9x^2+4x+4y^2, ∂z/∂y=8xy+4y и решена система градиентных уравнений.
• Аналитическое разложение второго уравнения: 4y(2x+1)=0 и разбор двух случаев: y=0 и x=-1/2.
• Нахождение критических точек: (0,0) и (-4/9,0) с показанными промежуточными вычислениями.
• Вычисление вторых частных производных: z_xx=18x+4, z_xy=8y, z_yy=8x+4 и оценка Гессиана в каждой точке.
• Численные значения дискриминанта Гессиана: для (-4/9,0) A·C−B^2=−16/9<0 (седло), для (0,0) A·C−B^2=16>0 и A>0 → локальный минимум z(0,0)=0.
• Ясный ответ и пояснение, почему одна точка даёт минимум, а другая не является экстремумом.

📊 Для кого подходит

Материал полезен студентам математических, инженерных и экономико-математических направлений для упражнений по математическому анализу, курсовых заданий и подготовки к зачётам по теме «функции нескольких переменных».

✨ Особенности

Ключевая ценность — пошаговые конкретные вычисления: факторизация уравнений, подстановка значений, явные формулы вторых производных и численные оценки дискриминанта. Готовые формулы и результаты позволяют быстро понять технику исследования экстремумов и применить её к похожим задачам.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура решения соответствует стандартным требованиям задач по математическому анализу и легко интегрируется в типовую контрольную или лабораторную работу.

Можно адаптировать?
Да. Пояснения и расчёты можно расширить дополнительными пояснениями по теории Гессиана или оформить в формате отчёта с введением/выводом.