Готовая задача: матричная игра и смешанные стратегии

📘 О чем эта работа

В работе рассматривается задача матричной игры с платёжной матрицей 3×3. Объект — матрица выигрышей игроков A = {A1,A2,A3} против столбцов {B1,B2,B3}. Предмет — нахождение оптимальных смешанных стратегий и цены игры методом приведения к паре двойственных задач линейного программирования и решения прямой задачи симплекс-методом.

📚 Что внутри

Документ подробно показывает пошаговое решение: от проверки седловой точки и доминирующих стратегий до получения окончательных вероятностей применения стратегий каждым игроком.

• Исходная платёжная матрица с элементами: A1=(3, -1, 5), A2=(4, 7, 2), A3=(5, -5, 2) и вычисление строковых минимумов/столбцовых максимумов (a = 2, b = 5).
• Пояснение необходимости сдвига матрицы на +5 из-за отрицательных элементов и аргументация корректности такой замены по теореме фон Неймана.
• Формулировка пары двойственных задач линейного программирования: прямая (max Z(y)) и двойственная (min F(x)) с явными ограничениями и целевыми функциями.
• Последовательные симплекс-итерации: ввод дополнительных переменных, выбор вводимых переменных (сначала y3, затем y2), вычисление разрешающих элементов и переходы между опорными планами. Приведены численные значения базиса и индексной строки.
• Окончательные решения прямой и двойственной задач: y1=0, y2=3/92, y3=2/23; x1=5/92, x2=3/46, x3=0; Z(Y)=F(X)=11/92.
• Перевод к вероятностям смешанных стратегий: вычисление g=1/(11/92)=92/11, корректировка на сдвиг (-5) и получение конечной цены игры v=37/11, а также оптимальных векторов P=(5/11;6/11;0) и Q=(0;3/11;8/11).
• Таблицы симплекс-метода и матрицы (включая матрицу базиса A и обратную D=A^{-1}) для воспроизведения расчётов.
• Проверка корректности решения через критерий оптимальности: сравнение математических ожиданий M(Pi;Q) и M(P;Qj) с ценой игры v, все неравенства соблюдены.

📊 Для кого подходит

Полезно студентам математических, экономических и прикладных специальностей (курсы «Теория игр», «Математические методы в экономике», «Линейное программирование»). Можно использовать для выполнения курсовых задач, контрольных примеров и практических занятий по симплекс-методу.

✨ Особенности

В работе есть полный числовой прогон симплекс-метода с явными табличными итерациями, бесперебойная связь прямой и двойственной задач через теорему двойственности, точные дробные результаты и финальная проверка условий оптимальности. Готовые численные решения (вероятности стратегий и цена игры) позволяют быстро адаптировать материал под учебные задания.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура содержит все необходимые вычислительные этапы и обоснования; легко вписывается в требования по задачам по теории игр и ЛП.

Можно адаптировать?
Да. Все промежуточные таблицы и числа приведены, поэтому решение можно сократить, расширить комментарии или подставить другую матрицу аналогичным способом.