Готовая задача: площадь фигуры и решение линейного ОДУ

📘 О чем эта работа

В работе рассматриваются два самостоятельных математических задания: вычисление площади плоской фигуры, ограниченной параболой y = x^2 − 8x + 12 и прямой y = x − 8, и получение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения y'' + 4y = 16x cos 2x + 8 sin 2x методом неопределённых коэффициентов. Объект — элементарные функции и операции интегрирования/дифференцирования; предмет — конкретные приёмы вычисления площади и построения частного решения ОДУ.

📚 Что внутри

Документ содержит пошаговые математические выкладки для обоих заданий:

• Для задачи на площадь: нахождение точек пересечения параболы и прямой. Равенство x^2 − 8x + 12 = x − 8 приводит к квадратному уравнению x^2 − 9x + 20 = 0 с корнями x=4 и x=5.
• Постановка интеграла площади как интеграла от разности функций (верхняя − нижняя) на отрезке [4,5]: интеграция функции −x^2+9x−20, вычисление первообразной и подстановка границ. Результат вычислений даётся в виде точного значения площади: 1/6.
• Для ОДУ: выделение однородного решения y_h = C1 cos 2x + C2 sin 2x; выбор формы частного решения методом неопределённых коэффициентов с учётом резонанса (умножение предполагаемой формы на x). Предлагаемая форма частного решения: (A x^2 + B x) cos 2x + (C x^2 + D x) sin 2x, подстановка в уравнение и определение коэффициентов через сравнение при коэффициентах при cos2x и sin2x.
• Краткие итоговые замечания о правиле выбора вида частного решения при наличии однородного решения с тем же частотным компонентом и о порядке полиномов в предположении.

📊 Для кого подходит

Подходит студентам математических, физических и инженерных специальностей 1–2 курса для выполнения контрольных и тестовых заданий по математическому анализу и дифференциальным уравнениям, а также для преподавателей как наглядный пример разборов типовых задач.

✨ Особенности

Материал содержит конкретные численные шаги: явное решение квадратного уравнения для границ интегрирования, развернутый интеграл с вычислением первообразной и точным значением площади (1/6). Во второй части показан корректный выбор формы частного решения при вынужденном резонансе с однородным решением, сформулирован порядок подстановки и принцип сравнения коэффициентов, что экономит время при самостоятельной проверке ответов.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура заданий и решение типичны для контрольных по математическому анализу и ОДУ в российских вузах; легко адаптируется под требования преподавателя.

Можно адаптировать?
Да. Интегральные вычисления и форма частного решения записаны в общем виде, что позволяет подставлять другие коэффициенты или правые части и получать решение по аналогии.