Помощь студентам в учебе и написании работ. Заказать дипломную, курсовую, работу. Никольский Помощь

Готовая задача: Производные и дифференциальное исчисление

Загружена: 24.02.2026 11:20

Сборник задач по производным и дифференциальному исчислению. Пошаговые решения производных, частных производных, дифференциалов, направленных производных, неявной дифференциации, оптимизации методом Лагранжа и исследования функций. Полезно для подготовки к контрольным и самопроверки.

Содержание

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
по дисциплине «Математика»
Вариант 7

Задание 1

Найдите производные от данных функций:
a) y=(1+x)/√(1-x)-x/(x^2+1)  ,y'(0)
b) y=(arcsin)^2 7x-sin8x/(x^2-1)  ,y'(0)
c) y=(arctg4)  ln⁡(arctg4x)+5^x-(5ln5)x ,y'(1)

Задание 2
y=1/2 ln (x-1)/(x+1) 〖   y〗^''-? ,y^'' (2)-?

Задание 3

f(x)=[((2x-3)^(3/2)
16/π^2  sin π/x
(3x-5)^(4/3) )]
Найдите f ′(x) и f ′′(x). Вычислите f ′(2) и f ′′(2).

Задание 4
Докажите, что функция z = xe^(y/x) удовлетворяет уравнению
x^2  (∂^2 z)/(∂x^2 )+2xy (∂^2 z)/∂x∂y+y^2  (∂^2 z)/(∂y^2 )=0

Задание 5
Дана функция f (x,y) =[(e^(2x+1-e^3y )
3√((x+1)^2+y^2 ))] . 
Найдите f ′(x, y). Вычислите f ′(0, 0).

Задание 6
Дана функция u = 6 ln(xz + y^2- 1) .
 Найдите: а) координаты вектора grad u в точке M(2, 1, 3); 
б) ∂u/∂a   в точке M в направлении вектора a{−3,−2, 6}

Задание 7
Найдите y ′′xx, если  {x = 3 cos^2 t
y = 2 sin^3 t
Вычислите y ′′xx, если t =  π/6

Задание 8
Функция z = z(x, y) задана неявно уравнением F(x,y,z)=x ^2-2y^2+ 3z^2- yz + y = 0. 
Вычислите: а) (∂z )/∂x (1, 1, 0); 
б) ∂z/( ∂y)  (1, 1, 0)

Задание 9
К графику функции f (x) = cos  2/3 x в точке с абсциссой x = -  π/2 проведена касательная. Найдите острый угол (в градусах) между касательной и осью OX.

Задание 10
 Найдите dy, если y = 3∛( x^2+2x+5). Вычислите значение dy, если x0 = 1, 
∆x = 0,01. 

Задание 11
Дана функция z = 3x^2+2y^2-xy и точки M0(−1, 3) и M1(−0,98; 2,97). Вычислите ∆z и dz при переходе из точки M0 в точку M1 (ответы округлить до сотых).

Задание 12
 Дана функция y = x - 4 √x  + 5. Найдите её наибольшее и наименьшее значения на отрезке [1, 9]. 

Задание 13
 Дана функция z = √(3 - x^2   - 2y^2 )   . Найдите её наибольшее и наименьшее значения в круге x^2  + y^2   ⩽ 1. 

Задание 14
Проведите полное исследование функции y =  (x^2  - 6x + 3)/(x - 3)   и начертите её график.

Подробное описание

📘 О чем эта работа

Контрольная по математике фокусируется на теме производных и методов дифференциального исчисления. В качестве предмета раскрываются правила дифференцирования, частные и направленные производные, дифференциалы, неявная дифференциация, а также методы исследования функций на экстремум и поведение графиков (асимптоты, выпуклость).

📚 Что внутри

Работа содержит набор типовых задач с подробными решениями и итоговыми ответами. Конкретика по содержанию:

Нахождение производных нескольких функций (включая вычисление первой и второй производной в точке).
Частные производные и вычисление производной в точке для функций двух переменных; задача на вычисление направленной производной в направлении заданного вектора (приведён метод нахождения орт-вектора и расчёт величины производной).
Неявная дифференциация: нахождение частных производных по неявному уравнению и вычисление их в конкретной точке.
Дифференциалы: нахождение dy, вычисление при заданном x0 и ∆x, а также сравнение Δz и dz при переходе между близкими точками (ответы округлены до сотых).
Исследование функций: поиск критических точек, монотонности, выпуклости/вогнутости, асимптот (вертикальная и наклонная), точки пересечения с осями; пример полного разбора функции с выделением вертикальной асимптоты в x=3 и наклонной асимптотой.
Экстремумы: нахождение наибольшего и наименьшего значений на отрезке (пример: на отрезке [1,9] максимумы в x=1 и x=9 равны 2, минимум в x=4 равен 1) и в круге с применением метода Лагранжа (статическая точка в центре и значения на границе окружности).
Геометрические задачи: вычисление угла касательной к графику функции через значение производной и приведение формулы тангенса угла.

📊 Для кого подходит

Материал рассчитан на студентов математических и инженерных специальностей, изучающих дифференциальное исчисление и подготовку к контрольным работам по курсу высшей математики. Подходит для самостоятельной практики, подготовки к зачёту и контроля навыков решения задач.

✨ Особенности

В работе представлены конкретные вычисления и готовые ответы, включая примеры округления результатов; показаны методы: нахождение направленных производных через нормировку вектора, применение условий критичности и метода Лагранжа для задач на экстремум, неявная дифференциация для функций z(x,y). Включён полный разбор одной функции с поиском асимптот, аналитической монотонности и выпуклости, что удобно при подготовке к практическим контрольным.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура задач и способы оформления решений соответствуют типичным требованиям вузовского контроля по высшей математике.

Можно адаптировать?
Да, решения легко адаптировать под конкретные варианты заданий: изменяются функции и численные параметры, сохраняются методы и пошаговая структура.