В условиях усиления конкуренции, ограниченности ресурсов и необходимости повышения эффективности производственных процессов важным становится использование инструментов, позволяющих принимать обоснованные управленческие решения. Экономико-математическое моделирование дает возможность формализовать реальные производственные ситуации, выявить основные связи между ресурсами и выпускаемой продукцией, а также определить наиболее рациональные варианты использования имеющихся возможностей предприятия. Методы оптимальных решений, и в частности линейное программирование, позволяют анализировать различные сценарии функционирования производственной системы и выбирать те из них, которые обеспечивают максимальную прибыль при существующих ограничениях.
Особую значимость данные методы приобретают при планировании выпуска продукции, когда предприятие имеет несколько видов изделий, но ограничено в объеме сырья, оборудовании и трудовых ресурсах. Математическая модель помогает представить производственную задачу в виде системы взаимосвязанных параметров, что позволяет получить количественно обоснованный оптимальный план производства. Применение таких моделей служит инструментом повышения эффективности работы предприятия и способствует принятию рациональных управленческих решений.
Целью курсовой работы является изучение и практическое применение методов линейного программирования для решения задач планирования производства. В работе рассматриваются вопросы построения математических моделей, выбора оптимального производственного плана различными методами и интерпретации полученных результатов. Дополнительно исследуются свойства оптимального решения, а также влияние изменения параметров модели на итоговую производственную программу.
Курсовая работа включает последовательное решение кейс-заданий, предусмотренных индивидуальным вариантом студента. Каждое задание направлено на формирование навыков работы с различными инструментами оптимизации: графическим методом, симплекс-методом, М-методом, а также программными средствами, такими как надстройка «Поиск решения» в MS Excel. Полученные решения сопоставляются между собой, что позволяет оценить точность методов и их применимость в практических ситуациях.
Структура работы отражает поставленные цели и требования методических указаний и включает введение, основную часть с подробным рассмотрением решений кейс-заданий, заключение и список использованной литературы. Выполнение курсовой работы способствует развитию аналитического мышления, умению формировать математические модели экономических задач и применять методы оптимизации для решения задач реального характера.
Кейсы
Кейс №1.
Предприятие выпускает два вида продукции: конфеты «Синичка» и «Совушка». Для производства каждой товарной позиции требуется определённое количество сырья, времени работы оборудования и трудовых ресурсов. Норма расхода указанных ресурсов на одну тонну продукции зависит от индивидуального параметра k, который закреплён за студентом согласно варианту. Для варианта 3 значение k равно 3.
Предприятие располагает ограниченными недельными запасами сырья, оборудования и трудовых ресурсов. Эти ограничения обусловлены финансовыми возможностями, складскими помещениями, производственными мощностями и фондом оплаты труда. Прибыль от реализации каждой тонны продукции также известна заранее. Исходные данные после подстановки k = 3 представлены в таблице.
Таблица 1 — Исходные данные для кейс-задания 1 (k = 3)
Математическая модель задачи
Переменные:
x₁ — объём производства конфет «Синичка», тонн;
x₂ — объём производства конфет «Совушка», тонн.
Целевая функция:
Max Z = 500x₁ + 700x₂
Ограничения:
Ограничение по сырью: 8.4x₁ + 11.4x₂ ≤ 32600
Ограничение по оборудованию: 7.5x₁ + 10.5x₂ ≤ 25900
Ограничение по трудовым ресурсам: 6x₁ + 10.5x₂ ≤ 21750
Условия неотрицательности: x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
Поскольку задача содержит две переменные, графический метод позволяет наглядно представить систему ограничений и определить область допустимых решений. Каждое ресурсное ограничение преобразовано к уравнению прямой, для которой были вычислены точки пересечения с осями координат. Построение этих прямых на плоскости x₁–x₂ дало возможность выделить область, удовлетворяющую всем условиям задачи.
После формирования допустимой области были найдены её вершины, представляющие собой потенциальные оптимальные решения. Для каждой из этих точек вычислено значение целевой функции. Сравнение полученных значений показало, что максимальная прибыль достигается на отрезке между вершинами (3453.33; 0) и (2766.67; 490.48), где целевая функция принимает одинаковое значение. Это подтверждает наличие множества оптимальных решений и демонстрирует, какие комбинации объёмов выпуска продукции обеспечивают максимальный доход предприятия.
Для проверки результатов графического метода модель была реализована в Microsoft Excel. Переменные x₁ и x₂ размещены в отдельных ячейках, после чего для каждого ресурса были заданы формулы расчёта загрузки. В отдельной строке сформирована целевая функция, отражающая общую прибыль предприятия.
В надстройке «Поиск решения» ячейка с целевой функцией выбрана в качестве максимизируемой. В качестве изменяемых параметров указаны переменные x₁ и x₂. Ограничения по сырью, оборудованию и трудовым ресурсам внесены согласно исходной математической модели, дополнительно задано условие неотрицательности переменных. В качестве метода решения использован симплекс-метод.
Результатом работы надстройки стало оптимальное решение: x₁ = 2766.67 т, x₂ = 490.48 т. Прибыль составила 1 726 666.67 у.е. Это значение совпадает с результатами, полученными графическим методом, что подтверждает корректность построенной модели.
Сравнение результатов:
Решение задачи линейного программирования было выполнено тремя способами: графическим методом, путём аналитического анализа вершин допустимой области и с использованием надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel. Во всех трёх случаях было получено одно и то же значение целевой функции, что подтверждает корректность построенной модели и согласованность вычислений.
Графический метод позволил определить геометрическую форму области допустимых решений и выявить, что оптимум достигается не в одной точке, а на отрезке между вершинами (3453.33; 0) и (2766.67; 490.48). Аналитическая проверка значений целевой функции в этих вершинах показала, что прибыль остаётся одинаковой и составляет 1 726 666.67 у.е., что указывает на множество оптимальных решений.
Надстройка «Поиск решения» предоставила конкретный вариант оптимального плана, принадлежащий этому множеству. Алгоритм симплекс-метода в Excel выбрал точку (2766.67; 490.48), поскольку она является пересечением активных ограничений по оборудованию и трудовым ресурсам. Полученная прибыль совпала с результатами графического и аналитического методов.
Все три метода приводят к одинаковому экономическому выводу: предприятие может распределять загрузку производства вдоль определённого отрезка, сохраняя максимальную прибыль. Это подтверждает корректность модели и демонстрирует устойчивость оптимального решения к выбору конкретного математического инструмента.
Кейс-задание №2А
В данном задании требуется решить задачу линейного программирования из кейс-задания №1 с использованием симплекс-метода. Для этого необходимо привести модель к каноническому виду, составить симплекс-таблицы, определить разрешающие элементы на каждой итерации и получить оптимальное решение. Далее требуется сравнить результат симплекс-метода с решением, полученным в кейсе-задании №1 графическим способом.
Так как исходные данные полностью совпадают с предыдущим заданием, модель остаётся прежней:
Переменные:
x₁ — объём производства конфет «Синичка», т;
x₂ — объём производства конфет «Совушка», т.
Целевая функция:
Max Z = 500x₁ + 700x₂.
Ограничения:
8.4x₁ + 11.4x₂ ≤ 32600
7.5x₁ + 10.5x₂ ≤ 25900
6x₁ + 10.5x₂ ≤ 21750
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.
Для приведения к каноническому виду введены добавочные переменные s₁, s₂, s₃ ≥ 0. Ограничения принимают вид:
8.4x₁ + 11.4x₂ + s₁ = 32600
7.5x₁ + 10.5x₂ + s₂ = 25900
6x₁ + 10.5x₂ + s₃ = 21750.
Целевая функция переписывается как:
Z − 500x₁ − 700x₂ = 0.
Начальное базисное решение:
x₁ = 0, x₂ = 0,
s₁ = 32600, s₂ = 25900, s₃ = 21750,
Z = 0.
На первой итерации в качестве генерального столбца выбран x₂, так как коэффициент при x₂ в строке Z является наименьшим (−700). Для выбора генеральной строки рассчитываются отношения свободного члена к коэффициенту при x₂. Минимальное положительное значение соответствует третьему ограничению, поэтому разрешающий элемент — 10.5. После преобразования третья строка становится строкой базиса x₂.
На второй итерации генеральным столбцом становится x₁, так как коэффициент в строке Z равен −100. Генеральная строка определяется по минимальному отношению свободного члена к коэффициенту при x₁, что соответствует строке s₂. После выполнения преобразований переменная x₁ входит в базис.
После проведения второй итерации в строке Z отсутствуют отрицательные коэффициенты, что свидетельствует о достижении оптимального решения. Результаты симплекс-метода следующие:
x₁ = 2766.67 т,
x₂ = 490.48 т,
Z = 1 726 666.67 у.е.
Полученное решение полностью совпадает с результатами графического метода, использованного в кейс-задании №1, что подтверждает корректность модели. Оптимальный план также является одной из точек множества оптимальных решений, расположенного на отрезке между вершинами (3453.33; 0) и (2766.67; 490.48) области допустимых значений.
Кейс-задание №2В
Математическая модель задачи
Предприятие производит три вида конфет: «Синичка», «Совушка» и «Фламинго». Норма расхода сырья, времени работы оборудования и трудовых ресурсов на производство одной тонны каждого вида продукции определяется параметром k. В варианте 3 значение k равно 3. Ограниченные недельные запасы ресурсов задают систему ограничений. Прибыль от реализации продукции также известна.
Вычислим коэффициенты:
Сырьё:
Синичка: 2.8k = 8.4
Совушка: 3.8k = 11.4
Фламинго: 3.7k = 11.1
Ограничение: 32000 + 200k = 32600
Оборудование:
Синичка: 2.5k = 7.5
Совушка: 3.5k = 10.5
Фламинго: 4.8k = 14.4
Ограничение: 25000 + 300k = 25900
Труд:
Синичка: 2k = 6
Совушка: 3.5k = 10.5
Фламинго: 4.5k = 13.5
Ограничение: 21000 + 250k = 21750
Прибыль:
Синичка — 500
Совушка — 700
Фламинго — 900
Определение переменных:
x₁ — выпуск конфет «Синичка», тx₂ — выпуск конфет «Совушка», т
x₃ — выпуск конфет «Фламинго», т
x₁, x₂, x₃ ≥ 0
Получить максимальную недельную прибыль:
Max Z = 500x₁ + 700x₂ + 900x₃
Ограничения по ресурсам
