Помощь студентам в учебе и написании работ. Заказать дипломную, курсовую, работу. Никольский Помощь

Готовые задачи: пределы, производные и исследование функций

Загружена: 21.02.2026 08:27

Сборник содержит развернутые решения типовых задач по математическому анализу: вычисление пределов, нахождение первой и второй производных, приближённые вычисления дифференциалом, полное исследование элементарной функции и анализ стационарных точек многомерной функции. Полезно для выполнения контрольных и самостоятельной подготовки.

Содержание

Задание_5

Найти стационарные точки функции и исследовать их на экстремум.

Задача 8
$$z = x^{3} – 12x + y^{4} – 2y^{2}$$

---

Задание_4

Провести полное исследование функции и построить её график.

Задача (29а)
$$y = \frac{- 8x}{x^{2} + 4}$$

---

Задание_2

Найти производную функции y′:

Пример 1 (23 а)
$$y = e^{x}(cos2x + 2sin2x)$$

Пример 2 (18 б)
$$y = x\ln{(\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x})} + \frac{1}{2}\left( {arc\sin}x - x \right)$$

---

Задание_3

1) Найти вторую производную функции

Задача 8
$$y = x^{3}\ln{(1 - 3x)}$$

2) Вычислить приближенно с помощью дифференциала

Задача 8
$$y = \sqrt{4x - 1\ },\ x = 2,56$$

---

Задание_1

Предел 1 (17а)
$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{x^{2} - 3}}{\sqrt[3]{x^{5} - 4} - \sqrt[4]{x^{4} + 1}}$$

Предел 2 (17б)
$$\lim_{x \rightarrow 3}\frac{\sqrt{x + 6} - 3}{5x^{2} - 16x + 3}$$

Предел 3 (2в)
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}$$

Предел 4 (19г)
$$\lim_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)^{\frac{x}{2} + 3}$$

Подробное описание

📘 О чем эта работа

Сборник представляет собой набор решённых задач по математическому анализу: вычисление пределов функций, нахождение производных первой и второй порядков, приближённые вычисления с помощью дифференциала, полное исследование рациональной функции одной переменной и исследование стационарных точек для функции двух переменных. Объект — стандартные типовые выражения из курса матанализа; предмет — приёмы предельных переходов, производных, дифференциальных приближений и критерия второго порядка для многомерных функций.

📚 Что внутри

В работе приведены подробные пошаговые решения и конечные ответы:

Разбор предельных задач: четыре примера с разными приёмами (деление на старшую степень, приведение к стандартным формам, рационализация); полученные ответы: 0, 1/84, 2 и число e для соответствующих пределов.
Нахождение первых производных: пример y = e^x(cos2x + 2 sin2x) с упрощением до y' = 5 e^x cos2x; сложный логарифмический пример с произведением и арксинусом разобран по шагам.
Вычисление второй производной для y = x^3 ln(1−3x): полный вывод выражения y'' в виде дроби с логарифмом и многочленами в числителе и знаменателе.
Приближённое вычисление значения функции √(4x−1) в точке x = 2,56 методом дифференциала: использовано значение в опорной точке 2,5, dx = 0,06, получено приближённое значение 3,04.
Полное исследование функции одной переменной y = −8x/(x^2+4): область определения и значений, точки пересечения с осями, интервалы возрастания и убывания, локальные экстремумы (минимум −2 при x=2, максимум 2 при x=−2), точки перегиба (x = 0, ±2√3), горизонтальная асимптота y=0, нечётность функции.
Задача по функциям двух переменных z = x^3 − 12x + y^4 − 2y^2: найдено 6 критических точек (2,0),(2,±1),(-2,0),(-2,±1); вычислены вторые частные производные и определитель Гессиана; установлены две точки минимума z(2,±1)=−17 и один максимум z(−2,0)=16, остальные точки не дают экстремума.

📊 Для кого подходит

Материал ориентирован на студентов математических, физико‑математических и инженерных специальностей для курсовых упражнений, подготовки к коллоквиумам и контрольным работам. Подойдёт студентам 1–3 курсов, преподавателям для разбора типовых примеров и репетиционной подготовки.

✨ Особенности

Включены подробные промежуточные выкладки: рационализация выражений при предельных переходах, правило произведения/частного при дифференцировании, применение формулы Гессиана для многомерной функции. Даны готовые численные ответы и условия их получения (например, dx для приближения), что экономит время при практике и сдаче домашних заданий.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура и стиль решений соответствуют типовым методическим требованиям по математическому анализу и легко адаптируется под конкретные критерии проверки.

Можно адаптировать?
Да. Шаги решений оформлены так, чтобы при необходимости можно было сократить пояснения, добавить свои комментарии или перестроить порядок доказательств для отчёта или контрольной.