Помощь студентам в учебе и написании работ. Заказать дипломную, курсовую, работу. Никольский Помощь

Готовая задача: Аналитическая геометрия — прямые и плоскости

Сборник задач по аналитической геометрии с подробными решениями. Рассмотрены построение уравнений прямых и плоскостей, вычисление расстояний и касания сферы, приведение квадратичных кривых к каноническому виду. Полезно для подготовки к экзаменам и контрольным.

Содержание

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
по дисциплине «Математика»
Вариант 7

Задание 1
Даны координаты вершин треугольника A(1, 3), B(2, 8), C(6, 6). Запишите общее уравнение прямой, на которой расположена медиана AM треугольника ABC.

Задание 2
Найдите координаты точки B, симметричной точке A(3, 2) относительно прямой x + 2y − 2 = 0.

Задание 3
Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(2,−1, 1) перпендикулярно двум плоскостям: x − 2y + 3z − 2 = 0, x + 4y − 2z + 1 = 0.

Задание 4
Найдите то значение параметра p, при котором пересекаются прямые:
{(x=2t-3
y=3t-2
z=-4t+6) 
и  (x-5)/1=(y+1)/p=(z+4)/1

Задание 5
Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси абсцисс плоскостью, проходящей через прямую 
{(x - y + 3z + 1 = 0
2x - z + 2 = 0 )
и точку M(1, 1, 0).

Задание 6
Найдите расстояние между плоскостями x − 2y + 2z + 11 = 0 и x − 2y + 2z − 25 = 0.

Задание 7
Найдите радиус сферы x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 6z + λ = 0, если известно, что она касается плоскости 3x − 2y + 6z + 23 = 0.

Задание 8. 
Дана кривая x2 + y2 − 8x − 2y = 47.
 8.1. Докажите, что эта кривая — окружность. 
8.2. Найдите координаты её центра.
8.3. Найдите её радиус.

Задание 9.
Дана кривая 25x2 − 16y2 + 32y − 416 = 0. 
9.1. Докажите, что эта кривая — гипербола. 
9.2. Найдите координаты её центра симметрии.
9.3. Найдите действительную и мнимую полуоси.
 9.4. Запишите уравнение фокальной оси.
 9.5. Постройте данную гиперболу. 

Задание 10.
Дана кривая 9x2 + 16y2 + 24xy − 40x + 30y = 0. 
10.1. Докажите, что данная кривая — парабола.
 10.2. Найдите координаты её вершины. 
10.3. Найдите значение её параметра p. 
10.4. Запишите уравнение её оси симметрии.
10.5. Постройте данную параболу

Подробное описание

📘 О чем эта работа

Сборник содержит контрольную по математике с 10 заданиями по аналитической геометрии. Объектом являются точки, прямые, плоскости, сферы и квадратичные кривые; предмет — методы получения общих уравнений, вычисления расстояний и приведения уравнений к каноническому виду. В каждом задании приведено поэтапное решение и итоговый ответ.

📚 Что внутри

Материал структурирован по типам задач и сопровождается подробными выкладками:

Задачи на прямые: построение медианы треугольника по координатам вершин (прямые через две точки) и поиск точки, симметричной заданной относительно прямой (прямая x+2y-2=0).
Плоскости: составление уравнения плоскости, перпендикулярной двум заданным плоскостям с использованием нормалей; вычисление длины отрезка, который плоскость отсекает от оси абсцисс; расстояние между параллельными плоскостями (в примере получено значение 12).
Прямые в пространстве: определение параметра p для пересечения двух прямых методом сведения параметрических уравнений к каноническому виду.
Сферы: выделение центра и радиуса через полные квадраты; условие касания сферы и плоскости и вычисление радиуса (в примере r=6 для центра C(1,1,3)).
Конические сечения: приведение квадратичных уравнений к каноническому виду — окружность (центр (4,1), R=8), гипербола (сдвиг на y-1, действительная полуось a=4, мнимая b=5, фокальная ось y=1) и парабола (выделение собственных чисел квадратичной формы, выбор собственного вектора, переход в каноническую систему, параметр p=-1, вершина в начале новой системы координат).
Иллюстративные выводы: в каждом пункте даны итоговые уравнения и ключевые промежуточные шаги для проверки.

📊 Для кого подходит

Материал предназначен для студентов технических и естественно-научных направлений, изучающих аналитическую геометрию и линейную алгебру. Подойдет для подготовки к контрольным и экзаменам, для отработки навыков работы с уравнениями прямой, плоскости, сферы и коник.

✨ Особенности

Работа содержит конкретные примеры с численными ответами (например, уравнение медианы 4x-3y+5=0, точка симметрии (1,-2), расстояние между плоскостями =12, радиус сферы =6). Пошаговые преобразования включают выделение полных квадратов, вычисление средних точек, использование нормалей плоскостей и приведение квадратичных форм к каноническому виду. Все решения подходят для быстрой адаптации под требования преподавателя.

❓ Частые вопросы

Подойдет ли для моего ВУЗа?
Структура и уровень решений соответствуют стандартным академическим требованиям по аналитической геометрии в технических вузах.

Можно адаптировать?
Да. Решения оформлены по этапам: вы сможете заменить числа, добавить поясняющие рисунки или оформить в институциональном шаблоне.